ステージをクリアしたとき、次のステージにスコアを保持して遷移するようにします。
Score.csを変更します。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
using UnityEngine.UI;

public class Score : MonoBehaviour {

    // スコアを表示するUIの取得用
    public Text scoreText;
    // ハイスコアを表示するUIの取得用
    public Text highScoreText;

    // スコアのカウント用
    public static int score;                     <=  public staticに変更します。

    // ハイスコアのカウント用
    public static int highScore;                 <=  public staticに変更します。

    / PlayerPrefsで保存するためのキー
    private string highScoreKey = "highScore";

    void Awake ()                                <=  StartからAwakeに変更します。
    {   
        if(!LevelManager.isStart)                <=  分岐を追加します。LevelManagerのisStartフラグがfalseの時のみ呼ぶようにします。
        {
            Initialize ();
        }
    }

   (中略)

    // ハイスコアの保存。外部より呼び出される
    public void Save ()
    {
        // ハイスコアを保存する
        PlayerPrefs.SetInt (highScoreKey, highScore);
        PlayerPrefs.Save ();

        // ゲーム開始前の状態に戻す              <=  これを削除する
        Initialize ();                           <=  これを削除する
        Debug.Log(highScore);                    <=  これを追加する
    }